Сечение прямого кругового конуса.

При сечении боковой поверхности конуса плоскостью можно получить различные линии, называемые коническими сечениями:

Сечение прямого кругового конуса


1) Окружность (фиг.308,а), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса;
2) Эллипс (фиг.308,б) - замкнутую кривую, если секущая плоскость наклонена к оси вращения и пересекает все образующие конуса;
3) Параболу (фиг.308,в) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса;
4) Гиперболу (фиг.308,г) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (в частности, когда секущая плоскость параллельна оси конуса);
5) Прямые (фиг.308,д), если секущая плоскость проходит через вершину конуса.
В третьем и четвертом случаях секущая плоскость не пересекает всех образующих конуса, вследствие чего кривая сечения будет разомкнутая.
1. Сечение прямого кругового конуса фронтально- проектирующей плоскостью, проходящей через вершину конуса по двум образующим (фиг.309).

Сечение прямого кругового конуса фронтально- проектирующей плоскостью


Фронтально - проектирующая плоскость δ пересекает поверхность конуса по образующим SA и SB и хорде АВ основания конуса.
I. Фронтальная проекция S2A2 и S2B2 образующих представляет собой отрезки" совпадающие с фронтальной проекцией δ2; фронтальная проекция хорды АВ является точкой В2 = А2.
Горизонтальная проекция сечения изобразится равнобедренным треугольником A1S1B1 сторонами которого будут проекции S1A1 и S1B1 образующих и основанием - проекция А1В1 хорды.
II. Построение изометрической проекции усеченного конуса осуществляем в следующем порядке: строим изометрическую проекцию неусеченного конуса; на его основании проводим хорду АВ, пользуясь размером k. Точки А' и В' соединяем прямыми с вершиной S'. Обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
2. Сечение прямого кругового конуса горизонтальной плоскостью (фиг.310).

Сечение прямого  кругового   конуса горизонтальной плоскостью


Горизонтальная плоскость уровня λ пересекает боковую поверхность конуса по окружности - параллели.
I. Фронтальная проекция фигуры сечения представляет собой отрезок, равный диаметру круга сечения D1 совпадающий с фронтальной проекцией λ2. Горизонтальная проекция - круг.
II. Построение аксонометрической проекции (диметрии) усеченного конуса выполняется в следующем порядке.
II, а: на оси z' намечаем точку О' - центр основания и точку О'1 - центр фигуры сечения на расстоянии, равном Н1. Приняв эти точки за центры, строим аксонометрические проекции основания и фигуры сечения - два овала, пользуясь размерами D и D1 взятыми с горизонтальной проекции.
II, б. Проводим контурные образующие, обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
3. Сечение прямого кругового конуса фронтально - проектирующей плоскостью, наклонной к его оси и пересекающей все его образующие (фиг. 311).

Сечение прямого кругового конуса фронтально - проектирующей плоскостью, наклонной к его оси и пересекающей все его образующие


I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком A2В2, сливающимся с проекцией δ2 и равным большой оси эллипса.
Горизонтальные проекции А1 и В1 концов отрезка лежат на горизонтальных проекциях контурных образующих, места которых определяются при помощи вертикальных линий связи.
Фронтальная проекция малой оси эллипса выявлена точкой С2 = D2, находящейся на середине отрезка A2B2. Горизонтальные проекции C1 и D1 концов малой оси лежат на проекциях образующих S1K1 и S1K, у которых расстояние между точками С1 и D1 равно малой оси эллипса. Точки А, В и С, D - концы осей, называются опорными (характерными).
I, б. Горизонтальные проекции промежуточных точек Е, F, N и ¯М определяются при помощи дополнительных образующих; так же как и проекции точек С, D.
I. в. Натуральная величина фигуры сечения - эллипс - найдена способом перемены плоскости проекций, причем достаточно найти только опорные точки А, В, С и D; зная, что длина отрезка А2В2 равна большой оси эллипса, а расстояние между точками C1D1 - малой оси, можно построить эллипс (см.фиг.150).
II. Для получения развертки поверхности усеченного конуса строят развертку поверхности неусеченного конуса, затем на развертку боковой поверхности наносят параллели радиусами R, R1, R2, R3 и R4 и образующие, при помощи которых найдены опорные и промежуточные точки. Для этого делят участки дуг на горизонтальной проекции между точками К21 и К11; К11 и К01; К01 и К31 на более мелкие части.
Через точки пересечения образующих с соответствующими параллелями проводят кривую линию сечения. Пристроив к любой точке линии сечения, например к точке В, соответствующей точкой эллипс - сечение, получают развертку поверхности усеченного конуса.
III. При построении аксонометрической проекции (изометрия) можно придерживаться такого порядка:
III, а. Строят аксонометрическую проекцию основания конуса; в основании на оси х' отмечают точки А'1, II'1, О'1, IV'1,В'1, пользуясь размерами, взятыми с горизонтальной проекции. На прямых, проведенных из точек А'1 и B'1 откладывают высоты этих точек.
Затем соединяют полученные точки А', В' прямой и на ней, путем проведения вертикальных прямых из точек II'1,O'1, IV'1, получают точки II'1, О'1, IV'1.
Через точки II', О', IV' проводят прямые, параллельные оси y' и на них находят точки F' и Е', D' и С', N' и М', пользуясь размерами, взятыми на горизонтальной проекции сечения.
Точки А', Е', С, M', В', N', D', F и А' соединяют последовательно кривой; проводят контурные образующие и обводят видимые и невидимые элементы.
4. Сечение прямого кругового конуса фронтально - проектирующей плоскостью, параллельной образующей (фиг.312).

Сечение прямого кругового конуса фронтально - проектирующей плоскостью, параллельной образующей


I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком, сливающимся с проекцией δ2
Горизонтальную проекцию сечения находят при помощи параллелей.
На проекциях боковой поверхности конуса наносят проекции параллелей (например, трех), причем меньшая должна проходить через точку D2 пересечения проекции δ2 проекцией контурной образующей.
I, б. Проекция δ2 пересекает проекции основания и параллелей в точках A2, В2, С2, D2 и С12, В12, А12.
Пользуясь вертикальными линиями связи, находят горизонтальные проекции A1, B1, C1, D1 и С11, В11, A11 этих точек.
Проведенная плавная кривая через точки А1 В1 С1 D1 С11, В11 и А11 явится горизонтальной проекцией линии пересечения, а прямая А1А11 - проекцией линии сечения основания конуса.
I, в. Фигуру сечения конуса возможно найти или способом перемены плоскостей проекции, или путем построения параболы по данной вершине D1 и точкам А1А11, положение которых определяется по комплексному чертежу.
II. Построение развертки боковой поверхности аналогично приведенному в предыдущем примере. Для получения полной развертки пристраивают к соответствующей точке дуги сектора, например к точке IV круг - основание конуса; проводят хорду A10A0, пользуясь размером k, и пристраивают к этой хорде сечение.
III, а. Для построения аксонометрической проекции (изометрии) сначала строят аксонометрическую проекцию основания конуса, проводят на нем хорду A11A1, пользуясь размером k, и отмечают вторичные проекции точек В'1, C'1, D'1, C'11, B'11 используя размеры x1, x2, х3 и y1, y2. На вертикальных линиях, проведенных из этих точек, откладывают высоты z1, z2 и z3, получают аксонометрические проекции точек параболы. Затем соединяют последовательно точки А'1, В', С1', D', О', В1' и А11' плавной кривой и получают аксонометрическую проекцию параболы.
III. б. Потом проводят контурную образующую и обводят видимые и невидимые элементы.

Сечение шара.....