Пересечение геометрических тел прямой.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЯМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

При пересечении прямой с поверхностью тела получаются две точки, одновременно принадлежащие как прямой, так и поверхности тела. Эти точки называются точками входа и выхода.
Для нахождения этих точек в общем случае поступают так:
1) проводят через данную прямую проектирующую плоскость;
2) находят фигуру сечения данной плоскостью;
3) определяют точки пересечения прямой с контуром сечения.
Разберем сказанное на примере (фиг.323). Надо найти точки пересечения прямой d с поверхностью неправильной пирамиды.

найти точки пересечения прямой d с поверхностью неправильной пирамиды


Проведем через прямую d фронтально - проектирующую плоскость δ. Проекция δ2 совпадает с фронтальной проекцией δ2.
В сечении получим четырехугольник, его горизонтальная проекция C1D1E1F1 выявится четырехугольником, а фронтальная (C2F2D2E2) - отрезком прямой, сливающимся с проекцией δ2 (фиг.323,а).
Пересечения горизонтальной проекции d1 прямой с проекциями C1F1 и D1E1 сторон четырехугольника - точки М1 и N1 - являются горизонтальными проекциями точек пересечения прямой d с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции М2 и N2 находят при помощи вертикальных линий связи (фиг.323,б).

проекции прямой призмы и прямой d, которая пересекает верхнее основание призмы и ее боковую грань


В тех частных случаях, когда грани тела или поверхность тела вращения перпендикулярны одной из плоскостей проекцией, применять вспомогательные проектирующие плоскости нецелесообразно, так как одна из проекций точек входа и выхода уже выявлена на чертеже.
На (фиг.324,а) даны проекции прямой призмы и прямой d, которая пересекает верхнее основание призмы и ее боковую грань BCED (B1C1E1D1 и B2C2E2D2). Точка К2 является фронтальной проекцией пересечения основания; точка М1 - горизонтальной проекцией пересечения грани BCED данной линией. Горизонтальная проекция К1 и фронтальная проекция М3 точек пересечения находятся при помощи вертикальных линий связи (фиг.324,б). На (фиг.325) показан пример пересечения прямой d с поверхностью прямого кругового цилиндра.
Точки С2 и D2 выявлены как фронтальные проекции точек пересечения; горизонтальные проекции С1 и D1 найдены при помощи вертикальных линий связи.
В тех частных случаях, когда прямая, пересекающая поверхность тела, перпендикулярна одной из плоскостей проекций, определение проекций точек пересечения аналогично предыдущему.
На (фиг.326) показан пример такого случая. Прямая f, пересекающая поверхность пирамиды, перпендикулярна плоскости проекций П1.
Горизонтальная проекция точки пересечения выявлена на чертеже точкой C1 сливающейся с горизонтальной проекцией f1 прямой; фронтальная проекция С2 найдена посредством вспомогательной прямой SD.
Несколько иначе решается задача определения проекций точек пересечения прямой с ша-ровой поверхностью.
На (фиг.327) показано такое решение. Прямая d общего положения пересекает шаровую поверхность; для определения точек пересечения, кроме проектирующей плоскости, применен метод перемены плоскостей проекций.

Прямая d общего положения пересекает шаровую поверхность
Проведем через прямую d горизонтально-проектирующую плоскость δ. Проекция δ1 совпадает с горизонтальной проекцией d1. В сечении получим окружность.
Примем плоскость δ за новую плоскость проекций и спроектируем на нее прямую и окружность сечения; так как прямая и сечение лежат в плоскости δ, то они спроектируются на нее в натуральную величину.
Новая проекция d4 прямой пересекает контур фигуры сечения - окружность - в точках C4 и D4; они являются искомыми точками пересечения (фиг.327,а). Обратным проектированием сначала находим горизонтальные проекции C1 и D1 искомых точек пересечения, а затем соответствующие им фронтальные проекции С2 и D2 (фиг.327,б).
Нахождение точек пересечения прямой общего положения с поверхностью конуса решается при помощи вспомогательной плоскости, проходящей через заданную прямую и вершину конуса.
Для примера возьмем прямой круговой конус и прямую d общего положения, пересекающую его коническую поверхность (фиг.328). Для определения точек пересечения достаточно вершину конуса S соединить прямой с произвольной точкой Q, находящейся на прямой d, найти горизонтальный след этой прямой и данной прямой d.
Соединяя проекции следов М1 и М11 прямой, получим проекцию k1 горизонтального следа k вспомогательной плоскости а, которая пересечет конус по двум образующим SC и SD (фиг.328,а).

проекции следов М1 и М11 прямой
Пересечение горизонтальной проекции d1 с проекциями образующих дает горизонтальные проекции E1 и F1 искомых точек. Затем при помощи линий связи находим фронтальные проекции E2 и F2 (фиг.328,б).

Пересечение поверхностей многогранников.....